第一章

函数概念

  • 考点
    • 定义域：指x的取值范围
    • 对应法则：指对x的加工/处理方式，用f,g,h…

$定义域及对应法则对应法则 \Leftrightarrow 两要素$

  • 定义域考点：
    1. 具体函数求定义域
    2. 抽象函数求定义域

求具体函数定义域

  • 常见具体函数定义域
    1. $y=\frac{1}{x},x \neq 0$
    2. $y=\sqrt[2n]{x},x x \geq 0$
    3. $y=\sqrt[2n+1]{x},x \in (-\infty,+\infty)$
    4. $y=\log_a(x),x > 0.\ln x,x>0$
    5. $y=\tan x,x \neq k\pi +\frac{\pi}{2}$
    6. $y=\cot x,\pi \neq k\pi$
    7. $y=\arctan x,y=\arccos x$
    8. $y=\arcsin x,y=\arccos x,x\in [-1,1]$

求抽象函数定义域

题型：已知$f(□)$的定义域，求$f(△)$中x的范围（定义域）
解法：两函数对应法则一样，自各自括号内范围因相同

求函数表达式

考点：根据函数对应法则，求函数表达式

  • 换元法：
    $\text{设:}f(\frac{1}{x}-1)=\frac{x}{2x-1}\text{求}f(x)$
    $\text{解:令}\frac{1}{x}-1=t,x=\frac{1}{t+1}$
    $\text{原式：}f(t)=\frac{1}{1-t}$
    $\qquad\text{x}=\frac{1}{1-x}$
  • 配凑法：
    三角函数
  • 配方法：将右边凑成□的形式
    三角函数$(a\pm b)=a^2 \pm 2ab + b^2$
    $\text{设：}f(\cos^2x)=\tan^2x,\text{求}f(x)f(2x)$
    $\qquad\tan^2x=\frac{\sin^2x}{\cos x}=\frac{1-\cos^x}{cos^2x}$
    $\qquad\sin^2+\cos^2$

    反函数

  • 定义：以y为自变量，x为因变量的函数记为$y=f^{-1}(x)$
  • 掌握：求解反函数的过程
    求$y=x-2$的反函数
    因为：$x=y+2$
    反函数为：$y=x+2$
    求$y=e^x+1$的反函数$\ln e^x=\ln (y-1)$
    $x\ln e=\ln(y-1)$
    $x=\ln (y-1)$
    反函数:$y=\ln (x-1)$

    常见的基本函数

  1. 常数项函数：$y=c$
  2. 幂函数：$y=x^a,y=x,y=x^2,y=x^3,y=\sqrt{x}=x^\frac{1}{2}$
    • 幂函数公式：
    1. $x^a \cdot x^b=x^{a+b}$
    2. $\frac{x^a}{x^b}=x^{a-b}$
    3. $\sqrt[b]{x^a}=x^{\frac{a}{b}}$
    4. $x^{-a}=\frac{1}{x^a}$
  3. 指数函数：$y=a^x(a>0),y=e^x,e=2.718$
  4. 对数函数：$y=\log_{a}x;x=a^y,*\ln x=\log_e x$
    1. $y=\log_a^x\Leftrightarrow x=a^y$
    2. $y=\log_e^x=\ln x\Leftrightarrow x=e^y$
      四则运算：$\ln a+\ln b=\ln a\cdot b\qquad \ln a^b=b\ln a$
      $\ln a-\ln b=\ln\frac{a}{b}\qquad u^v=e^{v\ln u}=e^{\ln u^v}$
  5. 三角函数：$y=\sin x,y=\cos x,\arctan x,y=\tan x$
    • 常用三角函数关系
      勾股定理：$a^2+b^2=c^2$
      $\sin x=\frac{y}{r}$
      $\cos x=\frac{x}{r}$
      $\tan x=\frac{y}{x}$
      $\cot x=\frac{x}{y}$
      $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$
      $\cot x=\frac{\cot x}{\sin x}$
      $\tan x=\frac{1}{\cot x}$
      $\cot x=\frac{1}{\tan x}$
      $\sec x=\frac{1}{\cos x}$
      $\csc x=\frac{1}{\sin x}$
$0$ $\frac{\pi}{6}$ $\frac{\pi}{4}$ $\frac{\pi}{3}$ $\frac{\pi}{2}$
$\sin$ $0$ $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $1$
$\cos$ $1$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{1}{2}$ $0$
$\tan$ $0$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $1$ $\sqrt{3}$

$\arctan\frac{\pi}{4}=1$

  • 常用反三角函数值

    1. $\arctan 1=\frac{\pi}{4}$
    2. $\arccos 0=\frac{\pi}{2}$
    3. $\arcsin 1=\frac{\pi}{2}$
    4. $\arctan 0=0$

  • 常用三角函数公式

    1. 平方和：
      $\sin^2 x+\cos^2 x=1$
      $1+tan^2 x=\sec^2 x$
      $1+\cot^2 x$
    2. 倍角：
      $\sin 2x=2\sin x\cos x$
      $\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=2\cos^2 x-1=1-2\sin^2x$
    3. 降次：
      $\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}$
      $\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$
    • $\frac{1}{1+\cos x}\Leftrightarrow\frac{1-\cos x}{(1+\cos x)(1-\cos x)}=\frac{1-\cos x}{1-\cos^2 x}=\frac{1-\cos x}{\sin^2 x}$
    • $\sec^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}$